一元函数自动求解器 / 在线一元方程求解 - aTool在线工具

• 请先看一道题：求解x，使得 e^−x−x=0，如果你能用纸笔解出这道题的话，请务必留言告知我方法，如果你不能用纸笔解出这道题的话，那么我们可以完全借助代码来对其进行求解。
• 以下就是我写的求解器，它几乎能够对所有的一元函数进行自动求解。可以在输入框内尝试任意一元函数，按Enter键或点击求解按钮进行求解。如有bug请留言，谢谢。
• 支持函数：加+ 减- 乘* 除/ 乘方^ 三角函数 对数函数ln(x)和log(base,x)

 一元函数： 

= 0

求解一元函数

原理 | Introduce

• 牛顿法是求解的核心方法，它的维基百科的定义为：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。简言之，牛顿法就是对x进行迭代，直至x收敛于某个很小的范围。
• 所以，对于任意的一元函数，我们都可以尝试用牛顿法来求得其近似解，当误差小于10^-9时，或者迭代步数超过10^5时，迭代结束.
• 在构建求解器时，有几个关键问题需要解决：解析输入的表达式，表达函数，求导函数方程，对函数进行代入求值。其中，最优先的一个问题是：我们怎么储存（表达）函数?
• 为什么选择这种二分表达树表达方式？主要是因为它是树形结构，方便递归处理节点，而我们之后求导函数其实就是用的递归思路，包括代入求值也是递归的思路。
• 预处理表达式：首先，我们需要预处理输入的表达式字符串。因为在数学中有一些简略或者多余的写法需要在此规范化。自然的输入串经过预处理后，就应该是一个中缀的表达式字符串，这是人类能够自然理解的表达式形式。但是为了将表达式储存成二叉表达树，我们还需要将中缀表达式转换成后缀表达式。
• 调度场算法：度场算法基本和我们在栈 递归 汉诺塔文中提到的利用栈来计算表达式的方法类似。它用队列表达输出的后缀表达式，利用了栈来储存操作符和函数。
• 构建二叉表达式树：假设输入表达式为：(a+b) * (c * (d+e))，经过调度场算法，我们得到a b + c d e + * *的后缀表达式。此时我们便可以利用后缀表达式的特点，快速的构建出一颗二叉表达树来。
• 求值：对二叉表达树进行代入求值的算法应该很容易就能想到。利用二叉树的递归特性，根为操作符或函数，左子树右子树是递归定义。我们只需要将左右子树的值递归求出，然后在进行操作符运算即可。
• 构建导函数树：我们只剩下了求解导函数的步骤。这一步也是比较复杂的操作，因为导函数的规则实在是很多。首先，表达导函数应该用二叉表达树来进行表示，因为可以直接对其进行代入求值，而且二叉表达树具有递归的特性；其次，由于二叉表达树的根节点总是操作符或函数的特性，左右子树也是表达式，我们可以用递归的思路来求解导函数。
• 本文摘抄自http://wuzhiwei.net/newton_method_auto_solver/ 更详细的内容可以到博客查看。

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